Question

求解下列問(wèn)題
（1）求函數(shù)y=

sinx- 1 2

+lg(cosx+

1

2

)的定義域；
（2）求f（x）=sin（

π

3

-2x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數(shù)，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由偶次根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0，聯(lián)立后求解三角不等式即可得到函數(shù)的定義域；
（2）給出的函數(shù)是正弦型的復(fù)合函數(shù)，且內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，只要讓

π

3

-2x在正弦函數(shù)的減區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍即可，最后用區(qū)間表示；
（3）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)的定義，由f（-x）+f（x）=0恒成立，列式后得（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立，也就是k²-1=0恒成立，則k的值可求．

解答：解：（1）要使原函數(shù)有意義，
則

sinx- 1 2 ≥0① cosx+ 1 2 ＞0②

，
解①得：

π

6

+2kπ≤x≤

5π

6

+2kπ（k∈Z），
解②得：-

2π

3

+2kπ＜x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，

π

6

+2kπ≤x＜

2π

3

+2kπ（k∈Z）．
所以，原函數(shù)的定義域?yàn)?span id="6chzkds" class="MathJye">[

π

6

+2kπ，

2π

3

+2kπ)（k∈Z）．
（2）令

π

3

-2x=t，
則內(nèi)層函數(shù)t=-2x+

π

3

為減函數(shù)，
由

π

2

+2kπ≤t≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
即

π

2

+2kπ≤-2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得：-

7π

12

-kπ≤x≤-

π

12

-kπ(k∈Z)．
即

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈Z）．
所以，函數(shù)f（x）=sin（

π

3

-2x）的單調(diào)增區(qū)間為：
[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈Z）．
（3）由函數(shù)f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=0恒成立，
即

k-2-x

1+k•2-x

+

k-2x

1+k•2x

=0恒成立，
整理得：

k2•22x-1+k2-22x

(k+2x)(1+k•2x)

=0，
所以，（k²-1）（2^2x+1）=0恒成立．
即k²-1=0恒成立．
所以，k=1 或k=-1．
所以，使函數(shù)f（x）=

k-2x

1+k•2x

為奇函數(shù)的k的值為1或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的奇偶性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的原則，運(yùn)用函數(shù)奇偶性求解參數(shù)時(shí)，注意等式恒成立的條件，此題是中檔題．