Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+3x+（

9

2

sinθ）lnx
（1）當(dāng)sinθ=-

4

9

時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)sinθ=-

4

9

時，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx（x＞0），求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令f′（x）＜0，x＞0，可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)，即可求θ的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)sinθ=-

4

9

時，f（x）=-

1

2

x²+3x-2lnx（x＞0）
∴f′(x)=-x+3-

2

x

=

-x2+3x-2

x

令f′（x）＞0，可得1＜x＜2；令f′（x）＜0，x＞0，可得x＜1或x＞2
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）或（2，+∞）
（2）∵f′(x)=-x+3+

9sinθ

2x

=

-2x2+6x+9sinθ

x

令y=-2x²+6x+9sinθ（x＞0），其對稱軸為x=

3

2

＞0
∵函數(shù)f（x）在（0，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)
∴△=36+72sinθ＞0
∴sinθ＞-

1

2

∴θ∈(2kπ-

π

6

，2kπ+

7π

6

)(k∈Z)

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查三角函數(shù)知識，屬于中檔題．