Question

已知函數(shù)（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若，且對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式并求出相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合函數(shù)的定義域便可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“對(duì)任意時(shí)，恒成立”，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，圍繞這個(gè)核心問(wèn)題結(jié)合分類討論的思想求出參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image010.png">，，

當(dāng)時(shí)，，                           2分

由及，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為      4分

（2）設(shè)，

因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以恒成立，

，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image019.png">，令，得，，                7分

①當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image025.png">時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，

所以時(shí)，，即，

解得，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image032.png">。所以此時(shí)不存在；            10分

②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image035.png">時(shí)，，時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，所以，且，

即，解得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image042.png">，所以此時(shí)；                 13分

③當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923305772219889/SYS201310292332116032513033_DA.files/image025.png">時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，由于，符合題意；            15分

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是                      16分

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立、分類討論