Question

已知定義在R的函數(shù)f(x)=2asin2x-2

3

asinx•cosx+b（a＞0）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域?yàn)閇-5，4]，
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用降冪公式和二倍角公式，由已知條件得到f（x）=-2asin（2x+

π

6

）+a+b，由此利用x的取值范圍和函數(shù)的值域，能求出a，b的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1，由此能求出f（x）的最小正周期．
（Ⅲ）f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1的減區(qū)間是函數(shù)g（x）=6sin（2x+

π

6

）+1的增區(qū)間，由此利用正弦函數(shù)的性質(zhì)能求出f（x）的減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2asin2x-2

3

asinx•cosx+b
=a（1-cos2x）-

3

asin2x+b
=-2a（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）+a+b
=-2a（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）+a+b
=-2asin（2x+

π

6

）+a+b，
∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤x≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∵a＞1，
∴f（x）的值域?yàn)閇-a+b，2a+b]，
根據(jù)題設(shè)條件，f（x）的值域?yàn)閇-5，4]，
∴

-a+b=-5 2a+b=4

，解得a=3，b=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（x）的最小正周期為T(mén)=

2π

2

=π．
（Ⅲ）f（x）=-6sin（2x+

π

6

）+1的減區(qū)間是函數(shù)g（x）=6sin（2x+

π

6

）+1的增區(qū)間，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，（k∈Z），
∴f（x）的減區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的值域的應(yīng)用，考查三角函數(shù)最小正周期的求法，考查函數(shù)的減區(qū)間的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意三角函數(shù)恒等式的合理運(yùn)用．