Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a+2（a≥0），an+1=

an+a

，n∈N^*．
（1）若a=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=|a_n+1-a_n|，數(shù)列的前n項和為S_n，證明：S_n＜a₁．

Answer 1

分析：（1）由a=0可得a₁=2，an+1=

an

，兩邊同時平方后再同時取對數(shù)后可得2lga_n+1=lga_n，從而可得數(shù)列{lga_n}是

1

2

為公比的等比數(shù)列．結合等比數(shù)列的通項公式可求lga_n，進而可求a_n；
（2）由已知an+1=

an+a

，可得an+12=an+a，n≥2時，

a

2 n

=a_n-1+a兩式相減可得a_n+1-a_n＜0，從而有b_n=|a_n+1-a_n|=-（a_n+1-a_n），然后再利用疊加法可求和，即可證明．

解答：解：（1）若a=0時，a₁=2，an+1=

an

，
∴an+12=an且a_n＞0．
兩邊取對數(shù)，得2lga_n+1=lga_n，
∵lga₁=lg2，
∴數(shù)列{lga_n}是以lg2為首項，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)ga_n=(

1

2

)n-1lg2，即a_n=221-n；
（2）由an+1=

an+a

，得an+12=an+a，①
當n≥2時，

a

2 n

=a_n-1+a，②
①-②，得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
由已知可得a_n＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號，
∵a₂=

2a+2

，且a＞0，∴

a

2 1

-

a

2 2

=（a+2）²-（2a+2）=a²+2a+2＞0恒成立，
∴a₂-a₁＜0，則a_n+1-a_n＜0．
∵b_n=|a_n+1-a_n|，∴b_n=-（a_n+1-a_n），
∴S_n=-[（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n+1-a_n）]=-（a_n+1-a₁）=a₁-a_n+1＜a₁．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式及疊加法求解數(shù)列的和方法的應用，試題具有一定的綜合性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．