Question

給出以下判斷：
①已知定點(diǎn)A（-5，0），B（5，0）和動(dòng)點(diǎn)C，且滿足AC，BC所在直線斜率之積為2，則動(dòng)點(diǎn)C連同點(diǎn)A，B的軌跡為雙曲線；
②已知圓C₁：（x-4）²+y²=169，圓C₂：（x+4）²+y²=9，有一動(dòng)圓在圓C₁的內(nèi)部且和圓C₁內(nèi)切，和圓C₂相外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓；
③已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖1），P是側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC和直線C₁D₁的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段；
④已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖2），M為AB中點(diǎn)，棱長為2，P是底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足條件PD₁=
3PM，則動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD上形成的軌跡是圓．其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①根據(jù)斜率的計(jì)算公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出；
②利用兩圓相內(nèi)切和外切的性質(zhì)、橢圓的定義即可得出；
③利用拋物線的定義即可得出；
④設(shè)點(diǎn)P（x，y），由于滿足條件PD₁=3PM，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出．

解答： 解：①設(shè)動(dòng)點(diǎn)C（x，y），由題意可得k_ACk_BC=2，∴

y

x+5

•

y

x-5

=2（x≠±5），
化為

x2

25

-

y2

50

=1（x≠±5）．因此動(dòng)點(diǎn)C連同點(diǎn)A，B的軌跡為雙曲線

x2

25

-

y2

50

=1，正確；
②設(shè)動(dòng)圓的圓心為C（x，y），半徑為R，由題意可得：|CC₁|=R+3，|CC₂|=13-R，
∴|CC₁|+|CC₂|=16＞|C₁C₂|=8，因此動(dòng)圓圓心的軌跡為橢圓，正確；
③點(diǎn)P到直線C₁D₁的距離即點(diǎn)P到點(diǎn)C₁的距離，在平面BCC₁B₁內(nèi)，到定點(diǎn)C₁與到定直線BC的距離相等（定點(diǎn)不在定直線上），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線的一部分，因此不正確；
④設(shè)點(diǎn)P（x，y），x，y∈[0，2]，
∵滿足條件PD₁=3PM，∴

|DD1|2+|DP|2

=3|PM|，
∴2²+x²+y²=9[（x-2）²+（y-1）²]，化為(x-

9

4

)2+(y-

9

8

)2=

77

64

，
∵x，y∈[0，2]，
則動(dòng)點(diǎn)P在底面ABCD上形成的軌跡是圓的一部分，因此不正確．
綜上可知：只有①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了斜率的計(jì)算公式、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩圓相內(nèi)切和外切的性質(zhì)、橢圓的定義、拋物線的定義、兩點(diǎn)間的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．