Question

已知函數f(x)=x-

a

x

(a＞0)，有下列四個命題：
①f（x）是奇函數；
②f（x）的值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③方程|f（x）|=a總有四個不同的解；
④f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上單調遞增．
其中正確的是（　�。�

• A、僅②④
• B、僅②③
• C、僅①③
• D、僅③④

Answer 1

分析：①當a=x=1時f（x）=0，采用舉反例的方法得到答案是否正確；
②根據定義域及單調性可知值域是（-∞，0）∪（0，+∞）；
③|f（x）|=a得到f（x）=±a即x-

a

x

=±a化簡求出x即可判斷；
④求出f′（x）判斷其符號即可知道函數單調與否．

解答：解：①函數明顯是奇函數，正確；
②函數的值域是R，錯誤；
③當f（x）≥0時，f（x）=a 有2個解，當f（x）＜0時，當f（x）=-a有2個解，正確；
④f（x）是間斷函數，在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上也遞增，但不能說在整個定義域上遞增，所以④錯誤．
故選C．

點評：考查學生會用反例法說明一個命題錯誤的能力，判斷函數單調性及證明的能力，判斷函數奇偶性的能力，會判斷根的存在性及根的個數的能力．