Question

已知函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函數(shù)為f^-1（x），且m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=

1 2 (x-1)(x≤1) x2-4x+3(x＞1)

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，n=

lim

x→∞

(

x2+x+1

-

x2-x+1

)，則函數(shù)y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域是

{0}

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題設(shè)，求出函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的解析式，進(jìn)而可求其反函數(shù)為f^-1（x），再求函數(shù)y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域．

解答：解：由題意，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=

1

2

(x-1)有交點(diǎn)（1，0）
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=x²-4x+3有一個(gè)交點(diǎn)，
∵m為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=

1 2 (x-1)(x≤1) x2-4x+3(x＞1)

的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
∴m=2
∵n=

lim

x→∞

(

x2+x+1

-

x2-x+1

)，則n=

lim

x→∞

2x

x2+x+1 + x2-x+1

=

lim

x→∞

2

1+ 1 x + 1 x2 + 1- 1 x + 1 x2

=1
∴函數(shù)f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）為f（x）=x²-1（x∈[0，1]）
∴f^-1（x）=

1+x

（x∈[-1，0]）
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+

x2-1

=1+x+

x2-1

∵x²-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函數(shù)y=[f^-1（x）]²+

x2-1

的值域是{0}
故答案為{0}

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查反函數(shù)，考查圖象的交點(diǎn)，考查函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的定義域．