Question

11．已知函數(shù)f（x）是定義域為（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），f（2）=1
（1）求f（1）；
（2）求滿足f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過x=y=1以及f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），f（2）=1即可求解f（1）的值．
（2）利用已知條件以及函數(shù)的單調(diào)性推出不等式求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是定義域為（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈（0，+∞）），令x=y=1可得：f（2）=2f（1），f（2）=1
∴f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）函數(shù)f（x）是定義域為（0，+∞）上的減函數(shù)，
f（x）+f（x-3）≤2=f（4）．
可得：$\left\{\begin{array}{l}0＜x\\ 0＜x-3\\ 2x-3≥4\end{array}\right.$，
解得x≥$\frac{7}{2}$．滿足
f（x）+f（x-3）≤2的x的取值范圍：[$\frac{7}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評 本題考查抽象函數(shù)應(yīng)用，函數(shù)的定義域以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．