Question

某種樹苗栽種時(shí)高度為A(A為常數(shù))米，栽種n年后的高度記為f(n)．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)f(n)近似地滿足 f(n)＝，其中，a，b為常數(shù)，n∈N，f(0)＝A．已知栽種3年后該樹木的高度為栽種時(shí)高度的3倍．

（1）栽種多少年后，該樹木的高度是栽種時(shí)高度的8倍；

（2）該樹木在栽種后哪一年的增長(zhǎng)高度最大．

 

Answer 1

（1）栽種９年后，該樹木的高度是栽種時(shí)高度的8倍;（2）第5年的增長(zhǎng)高度最大．

【解析】

試題分析：（1）由題中所給條件，運(yùn)用待定系數(shù)法不難求出，進(jìn)而確定出函數(shù)，其中．由，運(yùn)用解方程的方法即可求出，問(wèn)題得解; （2）由前面（1）中已求得，可表示出第n年的增長(zhǎng)高度為 ，這是一個(gè)含有較多字母的式子，這也中本題的一個(gè)難點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)化簡(jiǎn)和整體思想可得： ，觀察此式特征能用基本不等式的方法進(jìn)行求它的最值，即：，成立的條件為 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即可求出．

試題解析： （1）由題意知．

所以解得． 4分

所以，其中．

令，得，解得，

所以．

所以栽種９年后，該樹木的高度是栽種時(shí)高度的8倍． 6分

（2）由（1）知．

第n年的增長(zhǎng)高度為． 9分

所以

12分

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．

所以該樹木栽種后第5年的增長(zhǎng)高度最大． 14分

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求解;2.函數(shù)的最值;3.基本不等式的運(yùn)用