Question

已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）（3）若上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f'（x）=（x＞0），能推導(dǎo)出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由x∈[1，e]，知當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）≥0，故f（x）_min=f（1）=a=1；當(dāng)a≥e時(shí)，f'（x）≤0，推導(dǎo)出a=0（舍去）；當(dāng)1＜a＜e時(shí)，推導(dǎo)出a=1（舍去）．綜上所述，a=1．
（3）f（x）＜x在（1，+∞）上恒成立?a＜-xlnx在（1，+∞）上恒成立．，g'（x）=x-lnx-1．h（x）=x-lnx-1，h'（x）=1-．由此進(jìn)行分類討論，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f'（x）=（x＞0）…（2分）
∴f'（x）＞0?x＞a，f'（x）＜0?0＜x＜a…（3分）
∴f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，
在（a，+∞）上單調(diào)遞增   …（4分）
（2）∵x∈[1，e]
∴當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（1）=a=1
滿足題意   …（5分）
當(dāng)a≥e時(shí)，f'（x）≤0，
∴⇒a=0（舍去）   …（6分）
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，由（1）知f（x）在（1，a）上單調(diào)遞減，
在（a，e）上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（a）=lna+1=1⇒a=1（舍去）  …（7分）
綜上所述，a=1…（8分）
（3）f（x）＜x在（1，+∞）上恒成立?a＜-xlnx在（1，+∞）上恒成立…（9分）

g'（x）=x-lnx-1
令h（x）=x-lnx-1h'（x）
=1-…（10分）
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0
故h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（1）=0
，
所以a≤．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查解導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最大值和最小值中的實(shí)際應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯點(diǎn)是知識體系不牢固．