Question

已知函數(shù)y=f （x）的定義域為R，f （27）=3，且對任意的實數(shù)x₁，x₂，必有f =f （x₁）•f （x₂）  成立，寫出滿足條件的一個函數(shù)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意，函數(shù)滿足對任意的實數(shù)x₁，x₂，必有f （x₁•x₂）=f （x₁）•f （x₂） 成立，考查基本初等函數(shù)，冪函數(shù)y=f （x）=xⁿ具有這樣的性質(zhì)，故可猜測函數(shù)解析式f （x）=xⁿ，再結(jié)合題設條件f （27）=3，即可找出符合條件的函數(shù)
解答：解：由于（x₁•x₂）ⁿ=（x₁）ⁿ×（x₂）ⁿ
∴對于函數(shù)y=f （x）=xⁿ，都滿足對任意的實數(shù)x₁，x₂，必有f （x₁•x₂）=f （x₁）•f （x₂） 成立
又f （27）=3
∴27ⁿ=3³ⁿ=3，解得n=
故滿足條件的一個函數(shù)是y=
故答案為y=
點評：本題考查根據(jù)所給的函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)解析式，本題是一個開放式題，答案可能不唯一，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的函數(shù)性質(zhì)找出符合條件的函數(shù)，即找出具有這種性質(zhì)的函數(shù)函數(shù)，這也是本題的難點