Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x2+2ax，g（x）=3a²lnx，其中a＞0．若兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．則a的值為

e

5

6

．

Answer 1

分析：設(shè)公共點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)題意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解方程組即可求出a的值．

解答：解：設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同
而f′（x）=x+2a，g′（x）=

3a2

x

，
由題意可知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
則

1 2 x02+2ax0=3a2lnx0 x0+2a= 3a2 x0

解得x₀=a，a=e

5

6

故答案為：e

5

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．