Question

17．已知圓C過(guò)點(diǎn)（1，2）和（2，1），且圓心在直線x+y-4=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若一束光線l自點(diǎn)A（-3，3）發(fā)出，射到x軸上，被x軸反射到圓C上，若反射點(diǎn)為M（a，0），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標(biāo)與半徑，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）由題意，可知反射線必過(guò)定點(diǎn)A′（點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)），利用幾何知識(shí)知當(dāng)反射線與已知圓相切時(shí)恰好為范圍的臨界狀態(tài)．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，4-x），則（x-1）²+（2-x）²=（x-2）²+（3-x）²，
∴x=2，
∴C（2，2），
∴圓C的方程C：（x-2）²+（y-2）²=1；
（Ⅱ）A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（-3，-3），設(shè)過(guò)A′的直線為y+3=k（x+3），
當(dāng)該直線與⊙C相切時(shí)，有$\frac{|2k-2+3k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，∴k=$\frac{4}{3}$或k=$\frac{3}{4}$
∴過(guò)A′，⊙C的兩條切線為y+3=$\frac{4}{3}$（x+3），y+3=$\frac{3}{4}$（x+3），
令y=0，得x₁=-$\frac{3}{4}$，x₂=1
∴反射點(diǎn)M在x軸上的范圍是[-$\frac{3}{4}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 重點(diǎn)考查了點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱點(diǎn)的求法，還考查了解決問(wèn)題是抓住臨界狀態(tài)這一特殊位置求解的思想．