設(shè)向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，cosx），x∈R，函數(shù)f（x）=
a
•（
a
+
b
）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f（x）≥
3
2
成立的x的取值集．
分析：（Ⅰ）由題意和向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，求出解析式并利用倍角公式以及平方關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)和T=
2π
|ω|
，求出最大值、最小正周期；
（Ⅱ）代入解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)成關(guān)于正弦函數(shù)的不等式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，f（x）=
a
•（
a
+
b
）=
a
•
a
+
a
•
b
=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x
=1+
1
2
sin2x+
1
2
(cos2x+1)=
3
2
+
2
2
sin(2x+
π
4
)
∴f（x）的最大值為
3
2
+
2
2
，最小正周期是
2π
2
=π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
3
2
+
2
2
sin(2x+
π
4
)，
∴f(x)≥
3
2
，即
3
2
+
2
2
sin(2x+
π
4
)≥
3
2
，sin(2x+
π
4
)≥0，
∴2kπ≤2x+
π
4
≤2kπ+π
解得kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，k∈Z，
即f(x)≥
3
2
成立的x的取值集合是{x|kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，k∈Z}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用正弦函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解，需要利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算、倍角公式以及平方關(guān)系對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用整體思想求解有關(guān)正弦函數(shù)的不等式．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)向量
a
=（sinx，
3
2
），
b
=（
2
3
，2cosx）且
a
∥
b
，則銳角x為（　�。�
A、
π
6
B、
π
4
C、
π
3
D、
5
12
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）恒成立，設(shè)向量
a
=（sinx，2），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（cos2x，1），
d
=（1，2），當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（
a
•
b
）＞f（
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f （x）=x2+mx+n對(duì)任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，設(shè)向量
a
=（ sinx，2 ），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（ cos2x，1 ），
d
=（1，2），
（Ⅰ）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f （
a
•
b
）＞f （
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x） 對(duì)任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，設(shè)向量
a
=（sinx，2），
b
=（2sinx，
1
2
），
c
=（cos2x，1），
d
=（1，2）．
（1）分別求
a
•
b
和
c
•
d
的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（
a
•
b
）＞f（
c
•
d
）的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•揚(yáng)州二模）已知二次函數(shù)f（x）=x2-2x+6，設(shè)向量a=（sinx，2），b=（2sinx，
1
2
），c=（cos2x，1），d=（1，2）．當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，不等式f（a•b）＞f（c•d）的解集為
（
π
4
，
3π
4
）
（
π
4
，
3π
4
）
．

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