已知函數(shù)f(x)=
x2+x+4
x
，(x＞0)
-
x2-x+4
x
，(x＜0).

（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性；
（3）根據(jù)以上結(jié)論猜測f（x）在[-2，0）上的單調(diào)性，不需要證明．
分析：（1）當x＞0時，-x＜0，證明f（x）=f（-x）；當x＜0時，-x＞0，證明f（x）=f（-x），可得對于x≠0，
都有f（x）=f（-x），故 函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x2＞x1＞0，則f(x 2)-f(x1)=
x2-x1
x1•x2
(x1•x2-4)，當2≥x2＞x1＞0時，f（x2）-f（x1）＜0，
故函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對稱性可得，函數(shù)為增函數(shù)．
解答：解：（1）當x＞0時，-x＜0，則f(x)=
x2+x+4
x
，f(-x)=-
(-x)2-(-x)+4
(-x)
=
x2+x+4
x
，
∴f（x）=f（-x）．
當x＜0時，-x＞0，則f(x)=-
x2-x+4
x
，f(-x)=-
(-x)2+(-x)+4
(-x)
=-
x2-x+4
x
，
∴f（x）=f（-x）．
綜上所述，對于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當x＞0時，f(x)=
x2+x+4
x
=x+
4
x
+1，
設(shè)x2＞x1＞0，則f(x 2)-f(x1)=
x2-x1
x1•x2
(x1•x2-4)．
當2≥x2＞x1＞0時，f（x2）-f（x1）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)．
（3）根據(jù)偶函數(shù)的圖象的對稱性可得，函數(shù)為增函數(shù)．
點評：本題考查證明函數(shù)的奇偶性的方法，以及證明函數(shù)的單調(diào)性的證明方法，偶函數(shù)的圖象的對稱性，明函數(shù)的奇偶性
是解題的難點．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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