Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點(diǎn)E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A₁B₁C₁D₁的三邊A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁分別與曲線S切于點(diǎn)P，Q，R．求梯形A₁B₁C₁D₁面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱時兩點(diǎn)連線與對稱軸垂直，且兩點(diǎn)的中點(diǎn)在對稱軸上，再根據(jù)平行四邊形的對角線對應(yīng)的向量等于兩鄰邊對應(yīng)向量的和得到點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率，求出腰A₁B₁的方程，分別令y=0和y=1求出與兩底的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用梯形的面積公式表示出梯形A₁B₁C₁D₁面積，利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（1）如圖，設(shè)M（x，y），B′（x，2），又E（0，b）
顯然直線l的斜率存在，故不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+b，，則
而BB′的中點(diǎn)在直線l上，
故，①
由于⇒代入①即得，又0≤x≤2點(diǎn)M的軌跡方程（0≤x≤2）-------------（6分）
（2）易知曲線S的方程為（-2≤x≤2）
設(shè)梯形A₁B₁C₁D₁的面積為s，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
由題意得，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，1），直線B₁C₁的方程為y=1．
對于有
∴
∴直線A₁B₁的方程為，
即：令y=0得，，
∴．
令y=1得，，
∴
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”且，時，
s有最小值為．梯形A₁B₁C₁D₁的面積的最小值為----------（15分）
點(diǎn)評：本題考查兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對稱的充要條件；向量運(yùn)算的幾何意義；曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為曲線的切線斜率；利用基本不等式求函數(shù)的最值．屬于一道難題．