Question

首項為a₁的等比數(shù)列{a_n}的前n項和的極限為

1

3

，則首項a₁的取值范圍是

(0，

1

3

)∪(

1

3

，

2

3

)

．

Answer 1

分析：題意可得

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

=

1

3

，且-1＜q＜1且q≠0，根據(jù)q的范圍可求首項a₁的范圍

解答：解：設(shè)等邊數(shù)列的公比為q，由數(shù)列存在極限可得-1＜q＜1且q≠0
根據(jù)題意可得

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

=

1

3

，
∴a1=

1

3

(1-q)
∵-1＜q＜1且q≠0
∴0＜1-q＜2且1-q≠1
∴0＜a1＜

1

3

或

1

3

＜a1＜

2

3

故答案為：(0，

1

3

)∪(

1

3

，

2

3

)

點評：本題主要考查了等邊數(shù)列的和的極限的存在條件的應(yīng)用，要注意，解題中容易漏掉q≠0的條件．