Question

已知橢圓C：

x2

4

+y2=1，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
（1）若C上一點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=90°，求△F₁PF₂的面積；
（2）直線l交C于點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為(1，

1

2

)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的定義和勾股定理及三角形的面積公式即可得出；
（2）利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式即可求出直線的方程．

解答：解：（1）由第一定義，|PF₁|+|PF₂|=2a=4，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16
由勾股定理，|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12，
∴|PF₁||PF₂|=2，S△F1PF2=

1

2

|PF1||PF2|=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），滿足

x12

4

+y12=1，

x22

4

+y22=1，
兩式作差

(x1+x2)(x1-x2)

4

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
將x₁+x₂=2，y₁+y₂=1代入，得

(x1-x2)

2

+(y1-y2)=0，可得kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴直線方程為：y=-

1

2

x+1．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的定義和勾股定理及三角形的面積公式、“點(diǎn)差法”求直線的斜率是解題的關(guān)鍵．