Question

直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．現(xiàn)有一系列頂點(diǎn)都為整點(diǎn)的等腰直角三角形△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，…，△OA_nB_n，…，其中點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直角頂點(diǎn)A_n的坐標(biāo)為（n，n）（n∈N^*，n≥3），點(diǎn)B_n在x軸正半軸上，則第n個(gè)等腰直角三角形△OA_nB_n內(nèi)（不包括邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為______．

Answer 1

解 的頂點(diǎn)分別是（0，0）（1，1）（2，0）
所以很明顯內(nèi)部沒有整點(diǎn)
△OA₂B₂的頂點(diǎn)分別是（0，0）（2，2）（4，0）
所以很明顯內(nèi)部整點(diǎn)有（2，1）就一個(gè)
△OA₃B₃的頂點(diǎn)分別是（0，0）（3，3）（6，0）
所以很明顯內(nèi)部整點(diǎn)有（2，1）（3，1）（3，2）（4，2）共4個(gè)
△OA₄B₄的頂點(diǎn)分別是（0，0）（4，4）（8，0）
所以很明顯內(nèi)部整點(diǎn)有（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（6，1）一共是9個(gè)
所以我們能總結(jié)出規(guī)律：整點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之和一定小于8，并且縱坐標(biāo)不能為0，也必須小于橫坐標(biāo)
而且很明顯：△OA₁B₁內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)是0=（1-0）²
△OA₂B₂內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)是1=（2-1）²
△OA₃B₃內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)是4=（3-1）²
△OA₄B₄內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)是9=（4-1）²
所以△OAnBn內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)是（n-1）²
故答案為：（n-1）²