Question

已知幾何體A-BCDE的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）若幾何體A-BCDE的體積為16，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=1，求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得二面角A-DE-B的平面角是45°，若存在，請(qǐng)求出a值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，由幾何體A-BCDE的體積為16，構(gòu)造關(guān)于a的方程解方程可得答案．
（2）求異面直線所成的角，一般有兩種方法，
解一是幾何法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來(lái)求．過(guò)點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連接AF，則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成角；
解二是向量法，以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系分別求出異面直線DE與AB的方向向量代入向量夾角公式，可得答案．
（3）以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE的法向量和平面ADE的法向量根據(jù)二面角A-DE-B的平面角是45°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，判斷方程是否有解可得答案．

解答：解：（1）由該幾何體的三視圖知AC⊥面BCED，
且EC=BC=AC=4，BD=a，
∵幾何體A-BCDE的體積為16，
∴V=

1

3

•4

(a+4)4

2

=16，
解得a=2；
（2）解一：過(guò)點(diǎn)B作BF∥ED交EC于F，連接AF，
則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成角，
在△BAF中，AB=4

2

，BF=AF=

16+9

=5，
∴cos∠ABF=

BF2+AB2-AF2

2BF•AB

=

2 2

5

；
即異面直線DE與AB所成角的余弦值為

2 2

5

．
解二：以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4），
得

DE

=(0，-4，3)，

AB

=(-4，4，0)，
cos＜

DE

，

AB

＞=

DE • AB

| DE |•| AB |

=-

2 2

5

，
又異面直線DE與AB所成角為銳角，
可得異面直線DE與AB所成角的余弦值為

2 2

5

．
（3）以C為原點(diǎn)，以CA、CB、CE所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，a），E（0，0，4），
平面BDE的法向量

n1

=(1，0，0)，
平面ADE的法向量

n2

=(x，y，z)，

DE

=(0，-4，4-a)，

AD

=(-4，4，a)，
由

n2

•

DE

=0，

n2

•

AD

=0，
可得

n2

=(-1，

4-a

4

，1)，
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

2

，
∵a=4．
此時(shí)，與正視圖為直角梯形條件不符，所以舍去，
因此不存在實(shí)數(shù)a，使得二面角A-DE-B的平面角是45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合應(yīng)用，由三視圖求面積，異面直線及其所成的角，難度比較大，熟練掌握幾何法及向量法求夾角的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．