Question

已知m、n、s、t∈R⁺，m+n=2，

m

s

+

n

t

=9其中m、n是常數(shù)，且s+t的最小值是

4

9

，滿足條件的點(diǎn)（m、n）是圓（x-2）²+（y-2）²=4中一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為

x+y-2=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)s+t的最小值是

4

9

，根據(jù)均值不等式求得(s+t)(

m

s

+

n

t

)的最下值，進(jìn)而求得此時的m和n，進(jìn)而根據(jù)圓心坐標(biāo)求得弦所在的直線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求得直線的方程．

解答：解：∵(s+t)(

m

s

+

n

t

)=m+n+

tm

s

+

sn

t

≥m+n+2

mn

，（m=n時取等號）
∴m+n+2

mn

=4，
∴mn=1，得m=n=1得點(diǎn)（1，1），
∵已知圓的圓心為（2，2），
∴所求之弦的斜率為-

1-2

1-2

=-1，
從而弦方程為x+y-2=0．
故答案為：x+y-2=0

點(diǎn)評：本題考查基本不等式、圓、直線方程等相關(guān)知識，其中整體代換是解題技巧，數(shù)形結(jié)合是解題思想解題探究．