Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求證：DM∥平面PCB．

Answer 1

分析：（1）由題意取AD的中點(diǎn)G，連接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，證出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（2）由題意取PB的中點(diǎn)F，連接MF、CF，由中位線和題意證出CDMF是平行四邊形，得到DM∥CF，由線面平行的判定定理得DM∥平面PCB．

解答：解：（1）取AD的中點(diǎn)G，連接PG、GB、BD．
∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（6分）
（2）取PB的中點(diǎn)F，連接MF、CF，
∵M(jìn)、F分別為PA、PB的中點(diǎn)，
∴MF∥AB，且MF=

1

2

AB．
∵四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，
∴MF∥CD且MF=CD．（10分）
∴四邊形CDMF是平行四邊形．
∴DM∥CF．
∵CF?平面PCB，DM?平面PCB
∴DM∥平面PCB．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直和平行的判定定理的應(yīng)用，主要用了中位線和等腰三角形的中線證明線線平行和垂直．