Question

設(shè)函數(shù)g（x）=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx（a，b∈R），在其圖象上一點(diǎn)P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4，求f（x）的表達(dá)式；
（2）若g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出f（x）=g'（x），再根據(jù)-2、4是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)，由韋達(dá)定理建立方程組，解之即可；
（2）根據(jù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，得到函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立關(guān)于a和b的約束條件，而a²+b²可視為平面區(qū)域

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，從而求出a²+b²的最小值．

解答：解：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f（x）=g'（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)
由韋達(dá)定理，

-2+4=-a -2×4=-b

∴

a=-2 b=8

，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)減函數(shù)，
所以在[-1，3]區(qū)間上恒有f（x）=g'（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足

f(-1)≤0 f(3)≤0

即可，也即

a+b≥1 b-3a≥9

而a²+b²可視為平面區(qū)域

a+b≥1 b-3a≥9

內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，其中點(diǎn)（-2，3）距離原點(diǎn)最近，
所以當(dāng)

a=-2 b=3

時(shí)，a²+b²有最小值13．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．