Question

已知函數f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）當a=1時，求y=g（x）-f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，求a的取值范圍；
（3）設h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x），得到函數y=g（x）-f（x）的解析式，求出x=1時對應點的坐標，求出f^′（1），利用點斜式寫出切線方程；
（2）把在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方轉化為x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，把參數a分離出后構造函數g（x）=x2-

lnx

x

，利用導函數求該函數的最小值，則a的范圍可求；
（3）經分析可知函數h（x）為偶函數，求函數在[-1，1]上的最大值可轉化為求函數在[0，1]上的最大值，當a小于等于0時函數f（x）[0，1]上恒大于0且單調遞增，問題極易解決，當a大于0時，求出函數f（x）的導函數的零點，根據a的具體范圍分段，然后利用導函數的符號得到原函數的單調性，從而得到函數h（x）的最大值情況．

解答：解：（1）當a=1時，y=g（x）-f（x）=lnx-x³+3x，
當x=1時，y=ln1-1³+3×1=2．
y′=

1

x

-3x2+3，y^′|_x=1=1．
所以切線方程為y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在區(qū)間[1，2]上f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，
∴x³-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-

lnx

x

在[1，2]上恒成立．
設g（x）=x2-

lnx

x

，則g′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3+lnx-1

x2

，
∵2x³-1≥0，lnx≥0，∴g^′（x）≥0，∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a≤

1

3

；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數，故只要求在[0，1]上的最大值．
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調遞增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②當a＞0時，f′(x)=3x2-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（ⅰ）當

a

≥1，即a≥1時，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上單調遞增，此時F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）當0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，f（x）在[0，

a

]上單調遞減，在[

a

，1]單調遞增；
1°當f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，

a

]上單調遞增，在[

a

，1]單調遞減，F(a)=-f(

a

)=2a

a

；
2°當f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

時，
（�。┊�-f(

a

)≤f(1)=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）當-f(

a

)＞f(1)=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(a)=-f(

a

)=2a

a

．
綜上  F(x)=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．

點評：本題考查利用導數求曲線上在某點的切線方程，考查利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．考查了數學轉化思想和分類討論的數學思想方法，正確的分類是解答該題的關鍵，此題屬難題．