Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，+∞），值域是[0，+∞）的子集，且滿足下列條件：
①對任意x，y∈[0，+∞），都有f[xf（y）]•f（y）=f（x+y）；
②f（2）=0；
③f（x）≠0（0≤x＜2）．
（1）當x≥2時，求證：f（x）=0；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令y=2，代入①，根據(jù)②即可證明；
（2）令x=y=0，由①結(jié)合③，可得f（0）=1，令2=（2-x）+x，代入①，結(jié)合③得到f[xf（2-x）]=0，
由②得xf（2-x）=2，從而得到f（x）=

2

2-x

，也適合x=0，故可得f（x）的解析式．

解答： （1）證明：令y=2，則由①得，f[xf（2）]•f（2）=f（x+2），
再由②得，f（x+2）=0，
∵x≥0，∴當x≥2時，f（x）=0；
（2）解：由（1）得，當x≥2時，f（x）=0；
當x=y=0時，f（0f（0））•f（0）=f（0），則f（0）=0或1，
由③f（0）≠0，故f（0）=1，
令0＜x＜2，則0＜2-x＜2，
由①得，f（2）=f[（2-x）+x}=f[xf（2-x）]•f（2-x）=0，
由③得，f（2-x）≠0，故f[xf（2-x）]=0，
由f（2）=0，則xf（2-x）=2，即f（2-x）=

2

x

，
∴f（x）=

2

2-x

，也適合x=0，
∴f(x)=

2 2-x ，0≤x＜2 0，x≥2

．

點評：本題主要考查抽象函數(shù)及應用，考查解決的常用方法：賦值法，正確賦值（式）是解題的關鍵．