Question

已知x，y滿足

2x+y-3≥0 4x-y-9≤0 y≤lnx

，則z=

1

2

x-y的最小值是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進行求最值即可．

解答： 解：由z=

1

2

x-y得y=

1

2

x-

z

2

，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰影部分ABC）：
平移直線y=

1

2

x-

z

2

，
由圖象可知當(dāng)直線y=

1

2

x-

z

2

，與y=lnx相切時，直線y=

1

2

x-

z

2

的截距最大，此時z最小，
函數(shù)y=lnx的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)=

1

x

，由y′=f′(x)=

1

x

=

1

2

，
解得x=2，此時y=ln2，即切點坐標(biāo)為（2，ln2），
代入目標(biāo)函數(shù)z=

1

2

x-y=1-ln2．
∴目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最小值是1-ln2．
故答案為：1-ln2．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用以及直線和曲線相切，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問題的基本方法．