Question

如圖，已知橢圓E:的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,直線：交橢圓E于C,D兩點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點(diǎn)M在直線上；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k,使得三角形BDM的面積是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見解析；（3）存在.

試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的相交問題、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用已知的離心率和左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到基本量a,b,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，設(shè)出點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)和直線的方程，令直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用所得方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，從而得到的坐標(biāo)，由直線方程獲得，驗(yàn)證是否在上即可；第三問，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知條件將題目轉(zhuǎn)化為C點(diǎn)坐標(biāo)與M點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，通過直線與橢圓聯(lián)立消參，得到的坐標(biāo)，令，解出k的值，k有解，即存在.
試題解析：（1）由題意可知，，于是.
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為程.                3分
（2）設(shè)，，，
即.
所以，，，，
于是.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240430261291067.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在直線上.             8分
（3）由（2）知點(diǎn)A到直線CD的距離與點(diǎn)B到直線CD的距離相等，
若∆BDM的面積是∆ACM面積的3倍，
則|DM|=3|CM|，因?yàn)閨OD|=|OC|，于是M為OC中點(diǎn)，；
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240430261921024.png" style="vertical-align:middle;" />，解得.
于是，解得，所以.        14分