拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于F1，焦點(diǎn)為F2，以F1、F2為焦點(diǎn)、離心率e=
1
2
的橢圓C2與拋物線C1的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m=1時(shí)求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線L經(jīng)過橢圓C2的右焦點(diǎn)F2與拋物線L1交于A1，A2兩點(diǎn)．如果弦長(zhǎng)|A1A2|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線L的斜率；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)．
（1）m=1時(shí)，拋物線C1：y2=4x，焦點(diǎn)為F2 （1，0）． 由于橢圓離心率e=
1
2
，c=1，
故 a=2，b=
3
，故所求的橢圓方程為  
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由于△PF1F2周長(zhǎng)為 2a+2c=6，故弦長(zhǎng)|A1A2|=6，設(shè)直線L的斜率為k，則直線L的方程為 y-0=k（x-2），
代入拋物線C1：y2=4x 化簡(jiǎn)得 k2x2-（4k2+4）x+4k2=0，∴x1+x2= 4+
4
k2
，x1x2=4，
∴|A1A2|=
1+k2
•
(x1+x2)2- 4x1x2
=
1+k2
 
( 4+
4
k2
)2-4×4
=6，解得  K=±
2
．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，△PF1F2的邊長(zhǎng)是連續(xù)自然數(shù)，經(jīng)分析在△PF1F2中|PF1|最長(zhǎng)，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，
則|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1． 由拋物線的定義可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．
把P(m-1，
4m(m-1)
)代入橢圓
x2
4m2
+
y2
3m2
=1，解得m=3．故存在實(shí)數(shù)m=3 滿足條件．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動(dòng)到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4（x-1），橢圓C1的左焦點(diǎn)及左準(zhǔn)線與拋物線C的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線l分別重合．
（1）設(shè)B是橢圓C1短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的中點(diǎn)為P，求點(diǎn)P的軌跡C2的方程；
（2）如果直線x+y=m與曲線C2相交于不同兩點(diǎn)M、N，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=4x的焦點(diǎn)與橢圓C2：
x2
9
+
y2
b
=1的右焦點(diǎn)F2重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)．
（1）在△ABC中，若A（-4，0），B（0，-3），點(diǎn)C在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，求△ABC重心G的軌跡方程；
（2）若P是拋物線C1與橢圓C2的一個(gè)公共點(diǎn)，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求cosα•cosβ的值及△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文科做（1）（2）（4），理科全做）
已知過拋物線C1：y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn) 
（1）證明：y1y2=-p2且（y1+y2）2=2p（x1+x2-p）；
（2）點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（3）若x1=1，x2=4，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓或雙曲線C2過A、B兩點(diǎn)，求曲線C1和C2的方程；
（4）在（3）的條件下，若曲線C2的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，線段AB上有兩點(diǎn)C（x3，y3），D（x4，y4）（x3＜x4），滿足：①S△F1F2A-S△F1F2C=S△F1F2D-S△F1F2B，②AB=3CD．在線段F1 F2上是否存在一點(diǎn)P，使PD=
11
，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•東城區(qū)二模）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動(dòng)到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)A（t，0）（常數(shù)t＞4），當(dāng)a在閉區(qū)間〔1，2〕內(nèi)變化時(shí)，求△APQ面積的最大值，并求相應(yīng)a的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案