Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax²-lnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當時，證明：方程在區(qū)間（2，+∞）上有唯一解；
（3）若存在均屬于區(qū)間[1，3]的α，β且β-α≥1，使f（α）=f（β），證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出f^′（x），利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得出；
（2）利用（1）的結論可知：f（x）-在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，再驗證函數(shù)零點存在定理的條件即可證明；
（3）由f（α）=f（β）及（1）的結論知，從而f（x）在[α，β]上的最大值為f（α）（或f（β）），又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．利用其單調(diào)性解出即可．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域（0，+∞），．
∵a＞0，令f'（x）＞0得：，令f'（x）＜0得：．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）證明：當時，，由（1）知f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞），
令，則g（x）在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增且g（2）=f（2）-==＜0，
＞0．
∴方程在區(qū)間（2，+∞）上有唯一解．
（3）證明：由f（α）=f（β）及（1）的結論知，
從而f（x）在[α，β]上的最大值為f（α）（或f（β）），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故，即
從而．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得方法，函數(shù)零點判定定理等基礎知識與基本技能，靈活構造函數(shù)和善于利用已經(jīng)證明的結論是解題的關鍵．