Question

（本小題12分）如圖，已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軸垂直．直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),且橢圓的離心率。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系。

Answer 1

解：（1）將整理得
解方程組得直線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0，1），所以．
由離心率得．
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，則．
∵，∴．∴
∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點(diǎn)在
以為直徑的圓上．
又，∴直線(xiàn)的方程為．
令，得．又，為的中點(diǎn)，∴．
∴，．
∴
．
∴．∴直線(xiàn)與圓相切．

略