Question

某工廠生產(chǎn)某種兒童玩具，每件玩具的成本為30元，并且每件玩具的加工費為t元（其中t為常數(shù)，且2≤t≤5），設該工廠每件玩具的出廠價為x元（35≤x≤41），根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例，當每件玩具的出廠價為40元時，日銷售量為10件．
（1）求該工廠的日利潤y（元）與每件玩具的出廠價x元的函數(shù)關系式；
（2）當每件玩具的日售價為多少元時，該工廠的利潤y最大，并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由條件“日銷售量與e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）成反比例”可設日銷量為

k

ex

，根據(jù)日利潤y=每件的利潤×件數(shù)，建立函數(shù)關系式，注意實際問題自變量的范圍．
（2）先對函數(shù)進行求導，求出極值點，討論極值是否在35≤x≤41范圍內(nèi)，利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）設日銷量為

k

ex

；
則

k

e40

=10，  ∴k=10e40．（2分）
則日售量為

10e40

ex

，∴日利潤y=(x-30-t)•

10e40

ex

．
∴y=

10e40(x-30-t)

ex

，其中35≤x≤41．（6分）
（Ⅱ）y′=

10e40(31+t-x)

ex

，令y′=0得x=31+t．（8分）
①當2≤t≤4時，33≤31+t≤35．∴當35≤x≤41時，y′≤0．
∴當x=35時，y取最大值，最大值為10（5-t）e⁵．（11分）
②當4＜t≤5時，35＜t+31≤36，函數(shù)y在[35，t+31]上單調(diào)遞增，
在[t+31，41]上單減．∴當x=t+31時，y取最大值10e^9-t．
∴當2≤t≤4時，x=35時，日利潤y最大值為10（5-t）e⁵元
當4＜t≤5時，x=31+t時，日利潤y最大值為10e^9-t元．

點評：解決實際問題的關鍵在于建立數(shù)學模型和目標函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學語言，找出問題的主要關系，并把問題的主要關系抽象成數(shù)學問題，在數(shù)學領域?qū)ふ疫m當?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實際問題中加以說明．