Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x-2

x+1

=2

y+1

-y，則x+y的取值范圍是

[2+2

3

，4+4

2

]．

．

Answer 1

分析：實(shí)數(shù)x，y滿足x-2

x+1

=2

y+1

-y，化為(

x+1

-1)2+(

y+1

-1)2=4．令

x+1

-1=2cosθ，

y+1

-1=2sinθ，θ∈[0，2π），且

2cosθ≥-1 2sinθ≥-1

，解得θ∈[0，

2π

3

)∪[

11π

6

，2π)．
可得x+y=4+4

2

sin(θ+

π

4

)，進(jìn)而求出范圍．

解答：解：實(shí)數(shù)x，y滿足x-2

x+1

=2

y+1

-y，化為(

x+1

-1)2+(

y+1

-1)2=4．
令

x+1

-1=2cosθ，

y+1

-1=2sinθ，θ∈[0，2π），且

2cosθ≥-1 2sinθ≥-1

，
解得θ∈[0，

2π

3

)∪[

11π

6

，2π)．
化為x+y=4+4

2

sin(θ+

π

4

)，
∴(θ+

π

4

)∈[

π

4

，

11π

4

)∪[

25π

12

，

9π

4

)．
當(dāng)θ=

π

4

，則sin(θ+

π

4

)=1取得最大值，x+y取得最大值4+4

2

．
當(dāng)θ+

π

4

=

25π

12

時(shí)，sin(θ+

π

12

)=

6 - 2

4

時(shí)，x+y取得最小值2+2

3

．
因此x+y的取值范圍是[2+2

3

，4+4

2

]．
故答案為[2+2

3

，4+4

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了配方法、換元法、三角函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．