Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：+++…+=n²（n≥1，n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂及a₂₀₁₂；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=2a_n，數(shù)列{b_n²}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n≤2一．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別令n=1和2代入所給的式子求出a₁，a₂，再令n=2011和2012列出方程后作差求出a₂₀₁₂；
（2）由得，（n≥2，n∈N^*），兩式作差再化簡求出，再驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立；
（3）由（2）求出b_n和b_n²，驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)是否滿足條件，當(dāng)n≥2時(shí)需要對b_n放縮后，再利用裂項(xiàng)相消法化簡
S_n，即得，結(jié)論得證．
解答：解：（1）由題意知，
令n=1得，a₁=1，
令n=2得，，解得a₂=，
令n=2011得，
令n=2012得，，
兩式相減得，=2012²-2011²=4023，
解得a₂₀₁₂=，
（2）由（n≥1，n∈N^*）得，
（n≥2，n∈N^*），
兩式相減得，=n²-（n-1）²=2n-1，
則（n≥2，n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也滿足上式，
故，
（3）由（2）得，b_n===，∴b_n²=，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=1，則S₁=1，2-=1，滿足，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n²=＜=，
∴＜1+（1）+（）+…+（）
=，
綜上得，對一切的正整數(shù)n對恒成立．
點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式結(jié)合的綜合題，考查了數(shù)列前n項(xiàng)和與項(xiàng)之間的轉(zhuǎn)化問題，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，放縮法證明不等式等，綜合性強(qiáng)、難度大．