Question

【題目】已知函數(shù)g（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，a∈R．
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）=g（x）+（a+1）x2﹣2x，x1 ， x2（x1＜x2）是函數(shù)f（x）的兩個零點，f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：f′（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x的定義域為（0，+∞），

f′（x）= ﹣2ax+（2﹣a）=﹣ ，

①當a≤0時，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），

則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

②當a＞0時，x∈（0， ）時，f′（x）＞0，

x∈（ ，+∞）時，f′（x）＜0，

則f（x）在（0， ）上單調(diào)遞增，在（ ，+∞）上單調(diào)遞減；

（2）解：由x1，x2（x1＜x2）是函數(shù)f（x）的兩個零點，

得f（x1）=lnx1+ ﹣ax1=0，f（x2）=lnx2+ ﹣ax2=0，

兩式相減得a= +x1+x2，

∵f′（x）= +2x﹣a，

∴f′（ ）= ﹣ ，

故要證明f′（ ）＜0，

只需證明 ﹣ ＜0，（0＜x1＜x2），

即證明 ＞lnx1﹣lnx2，即證明 ＞ln （*），

令 =t∈（0，1），則h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，

則h′（t）=lnt+ ﹣1，h″（x）= ﹣ ＜0，

故h′（t）在（0，1）遞減，h′（t）＞h′（1）=0，

故h（t）在（0，1）遞增，h（t）＜h（1）=0，

故（*）成立，即f′（ ）＜0．

【解析】（1）先求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出a= +x1+x2 ， 問題轉(zhuǎn)化為證明 ＞lnx1﹣lnx2 ， 即證明 ＞ln （*），令 =t∈（0，1），則h（t）=（1+t）lnt﹣2t+2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．