【題目】已知函數(shù),其中,且 .
(1)當(dāng)( 為自然對數(shù)的底)時,討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng) 時,若函數(shù)存在最大值,求的最小值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】分析:(1)求導(dǎo)可得,分類討論:
①當(dāng),在上是減函數(shù);
②當(dāng)時,在上遞減,在上遞增.
(2)當(dāng),.據(jù)此可知:
①當(dāng)時,無極大值,也無最大值;
②當(dāng),的極大值為,.其中即,令,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)考查其單調(diào)性討論可得的最小值為,此時.
詳解:(1)由題,,
①當(dāng),當(dāng),在上是減函數(shù);
②當(dāng),當(dāng),,在上是減函數(shù);
當(dāng),,在上是增函數(shù).
即當(dāng)時,在上個遞減;
當(dāng)時,在上遞減,在上遞增.
(2)當(dāng),,.
①當(dāng)時,,,則,在上為增函數(shù),無極大值,也無最大值;
②當(dāng),設(shè)方程的根為,得.
即,
所以在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),
則的極大值為,.
令,令,.
.
當(dāng)時;當(dāng)時,所以為極小值也是最小值點.
且,即的最小值為,此時.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)當(dāng)m=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時間情況,隨機抽取了某市名觀眾進行調(diào)查,其中有名男觀眾和名女觀眾,將這名觀眾收視時間編成如圖所示的莖葉圖(單位:分鐘),收視時間在分鐘以上(包括分鐘)的稱為“朗讀愛好者”,收視時間在分鐘以下(不包括分鐘)的稱為“非朗讀愛好者”.
(1)若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機抽取名,再從這名觀眾中任選名,求至少選到名“朗讀愛好者”的概率;
(2)若從收視時間在40分鐘以上(包括40分鐘)的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名,求選出的這兩名觀眾時間相差5分鐘以上的概率.
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【題目】我國南北朝時間著名數(shù)學(xué)家祖暅提出了祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是:夾在兩平行平面間的兩個幾何體,被平行于這兩個平行平面的任何平面所載,若截得的兩個截面面積總相等,則這兩個幾何體的體積相等.為計算球的體積,構(gòu)造一個底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱,然后再圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點,圓柱上底面為底面的圓錐,運用祖暅原理可證明此幾何體與半球體積相等(任何一個平面所載的兩個截面面積都相等).將橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體,類比上述方法,運用祖暅原理可求得其體積等于( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列結(jié)論中:
①定義在R上的函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),在區(qū)間[0,+∞)上也是增函數(shù),則函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);②若f(2)=f(-2),則函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);③函數(shù)y=x-0.5是(0,1)上的減函數(shù);④對應(yīng)法則和值域相同的函數(shù)的定義域也相同;⑤若x0是二次函數(shù)y=f(x)的零點,且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.
寫出上述所有正確結(jié)論的序號:_____.
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【題目】如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1,側(cè)面ABB1A1為菱形,側(cè)面ACC1A1為正方形,側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面ACC1A1.
(1)求證:A1B⊥平面AB1C;
(2)若AB=2,∠ABB1=60°,求三棱錐C1-COB1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng),時,求滿足的的值;
(2)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
①存在,使得不等式有解,求實數(shù)的取值范圍;
②若函數(shù)滿足,若對任意且,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值.
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【題目】函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣3≤x≤5)的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某神奇“黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖.第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干,第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干,新枝干的長度是原來的,且與舊枝成120°,第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干,新枝干的長度是原來的,且與舊枝成120°,……,依次生長,直到永遠.
(1)求第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度;
(2)求第13階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度;
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