Question

已知函數(shù)ft(x)=(x-t)2-t（t∈R），設(shè)a＜b，f(x)=

fa(x)，fa(x)＜fb(x) fb(x)，fa(x)≥fb(x)

，若函數(shù)f（x）+x+a-b有四個零點(diǎn)，則b-a的取值范圍是（　�。�

• A、(2+

  5

  ，+∞)
• B、(0，2+

  5

  )
• C、(0，2+

  3

  )
• D、(2+

  3

  ，+∞)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：解方程f_a（x）=f_b（x）得交點(diǎn)P（

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a），函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a有四個不同的交點(diǎn)，由圖象知，點(diǎn)P在l的上方，故

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-（b-a）＞0，由此解得b-a的取值范圍．

解答： 解：作函數(shù)f（x）的圖象，解方程f_a（x）=f_b（x）
得x=

a+b-1

2

，
即交點(diǎn)P（

a+b-1

2

，(

b-a-1

2

)2-a），
又函數(shù)f（x）+x+a-b有四個零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）的圖象與直線l：y=-x+b-a
有四個不同的交點(diǎn)．
由圖象知，點(diǎn)P在l的上方，所以，

a+b-1

2

+(

b-a-1

2

)2-a-（b-a）＞0，
解得b-a＞2-

5

．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查根的存在性以及根的個數(shù)判斷，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．