Question

（1）已知橢圓的焦點為F₁（0，-5），F₂（0，5），點P（3，4）在橢圓上，求它的方程
（2）已知雙曲線頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±

3

2

x，求它的方程．

Answer 1

分析：（1）據焦點坐標判斷出焦點在y軸上，設出橢圓的方程，將P的坐標代入方程求出a，求出橢圓的方程．
（2）對焦點的位置分類討論，設出雙曲線的方程，求出實軸長及漸近線的斜率列出方程組，求出a，b，求出雙曲線方程．

解答：解：（1）∵焦點為F₁（0，-5），F₂（0，5），可設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-25

=1；
點P（3，4）在橢圓上，∴

16

a2

+

9

a2-25

=1∴a²=40，所以橢圓方程為

y2

40

+

x2

15

=1．（6分）
（2）當焦點在x軸上時，設所求雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
由題意，得

2a=12 b a =  3 2

　　　
解得a=3，b=

9

2

．
所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

81 4

=1．
同理可求當焦點在y軸上雙曲線的方程為

y2

9

-

x2

4

=1．

點評：本題考查通過待定系數法求曲線的方程，此法常用于求已知方程類型的曲線方程的求法．若求圓錐曲線方程時，注意焦點的位置．