Question

已知橢圓W的中心在原點，焦點在X軸上，離心率為

6

3

，橢圓短軸的一個端點與兩焦點構(gòu)成的三角形的面積為2

2

，橢圓W的左焦點為F，過x軸的一點M（-3，0）任作一條斜率不為零的直線L與橢圓W交于不同的兩點A、B，點A關(guān)于X軸的對稱點為C．
（1）求橢圓W的方程；
（2）求證：

CF

=λ

FB

（λ∈R）；
（3）求△MBC面積S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率，準線和a，b和c的關(guān)系，聯(lián)立方程求得a，b和c．橢圓的方程可得．
（Ⅱ）可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3）．進而根據(jù)橢圓的第二定義得，判斷出B，F(xiàn)，C三點共線，
（Ⅲ）根據(jù)三角形面積公式求得S的表達式，根據(jù)k的范圍確定S的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓W的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可知

c a = 6 3 1 2 ×2cb=2 2

，解得a=

6

，b=

2

，c=2．
所以橢圓W的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）點M坐標為（-3，0），于是可設(shè)直線l的方程為y=k（x+3），點A，B的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則點C的坐標為（x₁，-y₁），y₁=k（x₁+3），y₂=k（x₂+3），由橢圓的第二定義可得

|FB|

|FC|

=

x2+3

x1+3

=

|y2|

|y1|

，
所以B，F(xiàn)，C三點共線，即

CF

=λ

FB

（λ∈R）．
（Ⅲ）由題意知S=

1

2

|MF||y1|+

1

2

|MF||y2|=

1

2

|MF||y1+y2|=

1

2

|MF||k(x1+x2)+6k|．

又由M（-3，0），F(xiàn)（-2，0），則|MF|=1，S=

3|k|

1+3k2

=

3

1 |k| +3|k|

≤

3

2 3

=

3

2

，
當且僅當k2=

1

3

時，“=”成立，
所以△MBC面積S的最大值為

3

2

．

點評：本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，知識點多，復雜難懂，應熟練掌握橢圓的一些基本性質(zhì)．