Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當時，設函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求；

（2）設，若函數(shù)有兩個極值點，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）當時，則，通過分類討論參數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和最值，即可求得.

（2）要證，即證，當時，，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出在單調(diào)遞增，得出，即可證明出.

解：（1）當時，函數(shù)，則，

①當時，，在上單調(diào)遞增，

所以．

②當時，令，解得，，

（i）當時，即時，在上單調(diào)遞增，

由上知，此時；

（ii）當時，即時，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以；

（iii）當時，即時，在上單調(diào)遞減，

此時．

綜上得：，

即當時，，屬于一次函數(shù)，

由于，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上，；

當時，，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以在區(qū)間上，；

當時，，

綜合上述得出：．

（2）原式轉(zhuǎn)化為求證，

當時，，

所以是方程的兩根，所以，，

因為且，，所以，，

所以，

令，則，

所以在單調(diào)遞增，所以，

即．