Question

設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為鄰邊作平行四邊形MONP，則點(diǎn)P的軌跡方程為

（x+3）²+（y-4）²=4（點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y）、N（x₀，y₀），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出OP、MN中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x、y和x₀、y₀的式子，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分建立關(guān)系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后將點(diǎn)N坐標(biāo)關(guān)于x、y的式子代入已知條件的圓方程，化簡(jiǎn)即得所求點(diǎn)P的軌跡方程．最后檢驗(yàn)去除雜點(diǎn)，可得答案．

解答：解：設(shè)P（x，y），圓上的動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀），則
線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x

2

，

y

2

），線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

可得

x0=x+3 y0=y-4

，
∵N（x₀，y₀），即N（x+3，y-4）在圓上，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足圓的方程，代入化簡(jiǎn)可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合題意，舍去
故答案為：（x+3）²+（y-4）²=4（點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的方程和動(dòng)點(diǎn)軌跡求法等知識(shí)，屬于中檔題．