Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F，在第一象限內(nèi)作雙曲線漸近線的垂線，垂足為D，若FD中點(diǎn)在雙曲線上，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  2

  +1
• B．2
• C．

  3

• D．

  2

Answer 1

分析：依題意可求得|FD|=b，通過(guò)第一象限內(nèi)的雙曲線漸近線方程與其垂線的方程求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得FD中點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用雙曲線的第二定義即可求得其離心率．

解答：解：由題意得，該雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0），
第一象限內(nèi)的雙曲線的漸近線l的方程為：y=

b

a

x，即bx-ay=0，
設(shè)點(diǎn)F 到l的距離為d，則d=

bc

a2+b2

=b，即|FD|=b，
又直線FD⊥l，
∴直線FD的方程為：y=-

a

b

（x-c）
由

y= b a x y=- a b (x-c)

得D（

a2

c

，

ab

c

），設(shè)FD的中點(diǎn)為M，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M（

a2+c2

2c

，

ab

2c

），
又FD中點(diǎn)M在雙曲線上，該雙曲線的右準(zhǔn)線方程為：x=

a2

c

，點(diǎn)M 到右準(zhǔn)線的距離d^′=|

a2+c2

2c

-

a2

c

|，而|MF|=

1

2

|FD|=

1

2

b，
∴由雙曲線的第二定義可得e=

|MF|

| a2+c2 2c - a2 c |

=

1 2 b

b2 2c

=

c

b

，又e=

c

a

，
∴a=b．
∴e=

c

a

=

2a2

a

=

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線間的距離與中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查雙曲線的第二定義，考查分析轉(zhuǎn)化與綜合應(yīng)用的能力，屬于難題．