已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）若k
a
+
b
與k
a
-
b
大小相等，求β-α（k≠0）．
分析：（1）由模長(zhǎng)公式可得|
a
|=|
b
|=1，而（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=|
a
|2-|
b
|2=0，可判垂直；
（2）由k
a
+
b
與k
a
-
b
大小相等，可得（k
a
+
b
）2=（k
a
-
b
）2，化簡(jiǎn)可得
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，結(jié)合角的范圍可得其值．
解答：解：（1）∵
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），
∴|
a
|=
cos2α+sin2α
=1，同理|
b
|=1，
∴（
a
+
b
）•（
a
-
b
）=|
a
|2-|
b
|2=1-1=0
∴
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（2）∵k
a
+
b
與k
a
-
b
大小相等，
∴（k
a
+
b
）2=（k
a
-
b
）2，
展開化簡(jiǎn)可得4k
a
•
b
=0，
∴
a
•
b
=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（β-α）=0，
又∵0＜α＜β＜π，∴β-α=
π
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，涉及向量的模長(zhǎng)相等，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），點(diǎn)N（x，y）滿足
ON
=a⊙b（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則|
ON
|2的最大值為（　�。�
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=
7π
6
，求
a
•
b
的值；
（2）若
a
•
b
=
4
5
，α=
π
8
，且α-β∈(-
π
2
，0)，求tan（α+β）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•朝陽(yáng)區(qū)一模）已知
a
=（cosα，sinα），
b
=（cosβ，sinβ），0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求|
a
|的值；
（Ⅱ）求證：
a
+
b
與
a
-
b
互相垂直；
（Ⅲ）設(shè)|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，求β-α的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案