Question

已知數(shù)集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n個(gè)集合有n個(gè)元素，每一個(gè)集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成，并且每一個(gè)集合中的最大數(shù)與后一個(gè)集合中的最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù)．
（1）求第n個(gè)集合中各數(shù)之和S_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)n是不小于2的正整數(shù)，，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）第一個(gè)集合中有一個(gè)數(shù)，第二個(gè)集合中有2個(gè)數(shù)，第三個(gè)集合中有3個(gè)數(shù)，…第n個(gè)集合中有n個(gè)數(shù)，利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算a_n前共有多少個(gè)奇數(shù)，從而得到第n個(gè)集合中各數(shù)之和S_n的表達(dá)式．
（2）由（1）得．用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)結(jié)合因式的配湊法，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．
解答：解：（1）設(shè)第n個(gè)集合中的最小數(shù)為a_n，則a_n前共有個(gè)奇數(shù)，
∴． …（3分）
從而．  …（5分）
（2）由（1）得，，
∴．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． …（7分）
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=2+f（1）=3，右邊=，等式成立；
假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，等式成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）成立，
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+1+f（k）=（k+1）f（k）+1=．
右邊==，
即左邊=右邊，
∴等式也成立．…（9分）
綜上可知，對(duì)一切不小于2的正整數(shù)n，等式都成立．…（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素個(gè)數(shù)的規(guī)律；本題還考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：
設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n）成立（奠基）2°假設(shè)P（k）成立（k≥n），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n的自然數(shù)n都成立．