Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|x-1|+2a，a∈R．
（1）若方程f（x）=3x在（1，2）上有根，求a的取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=log₂（-4^x+a+1），若對(duì)任意的x₁、x₂∈（0，2），都有g(shù)（x₁）＜f（x₂）+

21

4

，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得函數(shù)h（x）=f（x）-3x=x²+|x-1|-3x+2a 在（1，2）上有零點(diǎn)，h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，由此求得a的范圍．
（2）由g（x）的單調(diào)性可得g（x）＜g（0）=log₂（-4^a+1），求得f（x）的最小值為f（

1

2

）=2a+

3

4

，可得log₂（-4^a+1）≤2a+

3

4

+

21

4

=log₂2^2a+6，即 7•2^2a≥1，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）∵方程f（x）=3x在（1，2）上有根，∴函數(shù)h（x）=f（x）-3x=x²+|x-1|-3x+2a 在（1，2）上有零點(diǎn)．
由于在（1，2）上，h（x）=f（x）-3x=x² -2x+2a-1是增函數(shù)，故有h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，
求得

1

2

＜a＜1．
（2）g（x）=log₂（-4^x+a+1）在（0，2）上是減函數(shù)，故g（x）＜g（0）=log₂（-4^a+1）．
而在（0，2）上，f（x）=

x2-x+2a+1，0＜x＜1 x2+x+2a-1，1≤x＜2

，∴f（x）的最小值為f（

1

2

）=2a+

3

4

，
由題意可得，log₂（-4^a+1）≤2a+

3

4

+

21

4

=2a+6=log₂2^2a+6，∴1-2^2a≤2^2a+6，即 7•2^2a≥1，
即 2a≥log2

1

7

，求得 a≥

1

2

log2

1

7

=-

1

2

log₂7，即a的范圍為[-

1

2

log₂7，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．