Question

函數(shù)f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

滿(mǎn)足[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對(duì)任意定義域中的x₁，x₂成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，故函數(shù)在每一段上是減函數(shù)，在整個(gè)定義域內(nèi)也是減函數(shù)，
故當(dāng)x＜0時(shí)，0＜a＜1． 當(dāng)x≥0時(shí)，a-3＜0，且還有a⁰≥0+4a．

解答：解：∵[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0對(duì)任意定義域中的x₁，x₂成立，
∴函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．又 f（x）=

ax (x＜0) (a-3)x+4a (x≥0)

，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，0＜a＜1． 當(dāng)x≥0時(shí)，a-3＜0，a＜3．
且還有a⁰≥0+4a，a≤

1

4

． 綜上，0＜a≤

1

4

，
故答案為：（0，

1

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查減函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．