Question

如圖，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F為CD中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小；
（Ⅲ）求點A到平面CDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，由F，G分別為DC，BC中點，知FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能夠證明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，分別以OC、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，則C（，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），，．求出面CDE的法向量，（6分）面ABDE的法向量，由此能求出二面角C-DE-A的大小．
（Ⅲ）由面CDE的法向量，，利用向量法能求出點A到平面CDE的距離．
解答：解：（Ⅰ）取BC中點G點，連接AG，FG，
∵F，G分別為DC，BC中點，
∴FG∥BD且FG=BD，又AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四邊形EFGA為平行四邊形，則EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G為 BC中點，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中點O和DE的中點H，
分別以OC、OB、OH所在直線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系，
則C（，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），
，．
設面CDE的法向量=（x，y，z），
則，
取，（6分）
取面ABDE的法向量，（7分）
由cos＜＞=
==，
故二面角C-DE-A的大小為arc．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），
面CDE的法向量，，
則點A到平面CDE的距離
d===．（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，考查點到平面的距離的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．