Question

某公司今年年初支出100萬元購買一種新的設(shè)備，而且公司每年需要支出設(shè)備的維修費(fèi)和工人工資等各種費(fèi)用，第一年4萬元，第二年6萬元，以后每年均比上一年增加2萬元．除去各種費(fèi)用后，預(yù)計(jì)公司每年純收益為28萬元．問：
（1）引進(jìn)這種設(shè)備后，從第幾年起該公司開始獲利？（即：總收益大于各種支出）
（2）這種設(shè)備使用多少年，該公司的年平均收益最大？

Answer 1

分析：（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f（n），f（n）=28n-[4n+

n(n-1)

2

×2]-100，由此能夠求出引進(jìn)這種設(shè)備后，第5年末的收益與支出恰好相等，故從第6年起該公司開始獲利．
（2）年平均收益為

f(n)

n

=25-(n+

100

n

)≤25-2×10=5．由此能夠求出這種設(shè)備使用10年，該公司的年平均收益最大．

解答：解：（1）由題意知，每年的費(fèi)用是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
設(shè)純收益與使用年數(shù)n的關(guān)系為f（n），
則f（n）=28n-[4n+

n(n-1)

2

×2]-100
=25n-n²-100．…（4分）
由f（n）＞0，得n²-25n+100＜0，
解得：5＜n＜20，
又∵n∈N，所以6，7，8，…，19．
且當(dāng)n=5時(shí)，f（n）=0，
即第5年末的收益與支出恰好相等，故從第6年起該公司開始獲利．…（6分）
（2）年平均收益為：

f(n)

n

=25-(n+

100

n

)
≤25-2

n× 100 n

=5．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n=

100

n

，即n=10時(shí)，

f(n)

n

取得最大值．
即這種設(shè)備使用10年，該公司的年平均收益最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)實(shí)際中的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值定理的靈活運(yùn)用．