Question

把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：
設（i、j∈N^*）是位于這個數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個數(shù)，數(shù)表中第i行共有2^i-1個正整數(shù)．
（1）若a_ij=2013，求i、j的值；
（2）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），試比較A_n與n²+n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形結(jié)構判斷前n行共有多少項，從而判斷2013在第幾行，第幾個數(shù)，求得i、j即可；
（2）先求出A_n，利用歸納，猜想、證明的方法比較A_n與n²+n的大小．

解答：解：（1）數(shù)表中前n行共有1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1個數(shù)，
第i行第一個數(shù)是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，
∴i=11，j=2013-2¹⁰+1=990．
（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+3+…+（n-1）]=2ⁿ-1+

n(n+1)

2

，
∴A_n-（n²+n）=2ⁿ-

n2+3n+2

2

，
當n=1時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n=2時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n=3時，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當n=4時，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
猜想：當n≥4時，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

．
用數(shù)學歸納法證明如下：
①當n=4時，2⁴=16＞

42+3×4+2

2

，成立；
②假設當n=k（k≥4）時，成立，
當n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞k²3k+2，
∵k²3k+2-

(k+1)2+3(k+1)+2

2

=

2k2+6k+4-(k+1)2-3(k+1)-2

2

=

(k+2)(k-1)

2

＞0，（k≥4）
∴2^k+1＞

(k+1)2+3(k+1)+2

2

，即n=k+1時，成立．
由①②知，n≥4時，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，即A_n＞n²+n．
綜上，當n=1、2、3時，A_n＜n²+n；
當n≥4時，A_n＞n²+n．

點評：本題考查了數(shù)學歸納法及等差、等比數(shù)列的綜合問題．