Question

在數(shù)列{a_n}中，，．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．若對于任意的n∈N^*，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列{a_n}中，，．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，且 a_n=tanb_n（n∈N^*）．易得，．
（2）由，a_n=tanb_n，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，可得 ，進(jìn)而確定數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式，可得答案．
（3）由（2）中數(shù)列的通項(xiàng)，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，分n是奇數(shù)和n是偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，綜合討論結(jié)果可得答案．
解答：解：（1）依題意得 ，，
又 a₁=tanb₁，a₂=tanb₂，且 ，
所以 ，．
（2）因?yàn)?nbsp;，a_n=tanb_n，且 ，
所以 ．
所以 ．
所以 （n∈N^*）．
因此數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
所以 ．
（3）由 ，得 ．
由，得 （-1）ⁿλ≤2ⁿ-1．
①當(dāng)n是奇數(shù)時，λ≥1-2ⁿ．
由于上式對正奇數(shù)恒成立，故 λ≥-1．
所以，當(dāng)n是奇數(shù)時，λ≥-1．
②當(dāng)n是偶數(shù)時，λ≤2ⁿ-1．
由于上式對正偶數(shù)恒成立，故 λ≤3．
所以，當(dāng)n是偶數(shù)時，λ≤3．
點(diǎn)評：二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正切函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式